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$\begin{align*} I_{n} &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^{n}xdx\\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^{n-1}x \sin xdx \\ &= - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^{n-1}x d\cos x\\ &= (-\sin ^{n-1}x \cos x) |_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos x d\sin^{n-1} x\\ &= 0 + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(n-1)\sin ^{n-2}x \cos^{2} xdx \\ &= 0 + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(n-1)\sin ^{n-2}x (1-\sin^{2} x)dx \\ &= (n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^{n-2}x dx - (n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^{n}x dx\\ &= (n-1)I_{n-2} - (n-1)I_{n}\\ \\ \Rightarrow & I_{n} = (n-1)I_{n-2} - (n-1)I_{n} \\ \Rightarrow & I_{n} = (\frac{n-1}{n})I_{n-2} \\ \because & I_{0} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^{0}xdx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}1dx = \frac{\pi}{2}\\ & I_{1} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^{1}xdx = 1\\ \therefore I_{n} &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^{n}xdx= \left\{\begin{matrix} \frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2} ...\frac{1}{2} I_{0}\\ \frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2} ...\frac{2}{3} I_{1} \end{matrix}\right. \end{align*}$

Feb 1, 2021

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